Bài 1 :
Với \(a>0;b>0;c>0.\) Hãy CM các BĐT sau :
a) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Với a > 0 , b > 0 , c > 0 . Chứng minh các BĐT sau :
a) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)
Với a,b,c>0. Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
c, \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
2. Cho a, b > 0. CM: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng CM các bđt sau:
a)Cho a, b, c > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4.\) CM:\(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)
b)\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b=c}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ \(VT=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
b/ \(VT\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{c}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c >0
C/m: a,\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
a/ \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\Leftrightarrow a^2b+bc^2\ge2abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+bc^2-2abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\RightarrowĐPCM\)
b/ Áp dụng câu a ta có
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng 3 cái đó vế theo vế được
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c >0
CM: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng bđt Bunhia nha các bạn
cm các bđt : a) \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\) với \(a\ge b\ge c>0\)
b) \(\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^2}\le3\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=ab+bc+ca\end{matrix}\right.\)
c) \(a+b^2+c^2\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) với \(a\le b;a\le c;abc=1\)
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
với a>0 , b> 0 , c>0 .CM bất đẳng thức:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
trả lời
dùng bất đẳng thức cosi cho 2 số ko âm
sử dụng cộng mỗi cặp trên
đc 3 cặp
cộng lại là ra
ta có : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a;\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
Do đó : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2b+2a+2c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
1,Với các số dương a,b,c. Chứng minh rằng: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
2, Với các số a,b,c>0. Chứng minh rằng:\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)